സമാന്തര ശ്രേണി

 1.സമാന്തര ശ്രേണിി

1. ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്നു തുടങ്ങി ഒരു സംഖ്യ ആവർത്തിച്ച് കൂട്ടിയാണ് സമാന്തരശ്രേണി എഴുതുന്നത്. തുടർച്ചയായി കൂട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ് സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പൊതുവ്യത്യാസം. സമാന്തരശ്രേണിക്ക് ഒരു ബീജഗണിതരൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും. അത് ആ ശ്രേണിയുടെ n-ാ മത്തെ പദമാണ്. ആദ്യ പദം  f, പൊതുവ്യത്യാസം d, ആയാൽ  എന്നത് ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതമാണ്. ബീജഗണിതരൂപം ഉപയോഗിച്ച് ഏതൊരു പദവും എഴുതാം. സമാന്തരശ്രേണിയിലെ രണ്ട് പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൊതുവ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണിതമാണ്. ഒരു പദത്തോട് നിശ്ചിത തവണ പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടിയാൽ ആ ശ്രേണിൽ തന്നെയുള്ള പദം കിട്ടും. 

ഇൗ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരമെഴുതുക.

a) ആദ്യപദം 3ഉം പൊതുവ്യത്യാസം 7 ഉം ആയ സമാന്തരശ്രേണി എഴുതുക.

b) ഇൗ ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.

c) ബീജഗണിതരൂപം ഉപയോഗിച്ച് ശ്രേണിയുടെ പത്താമത്തെ പദം കണക്കാക്കുക.

d) പത്താമത്തെ പദത്തോട് എത്ര കൂട്ടിയാൽ 24 മത്തെ പദം കിട്ടും.

e) ഇൗ ശ്രേണിയുടെ പദമാണോ 129? ആണെങ്കിൽ എത്രാമത്തെ പദമാണ്?

2. നിശ്ചിത എണ്ണം പദങ്ങളുള്ള ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ രണ്ട് അറ്റങ്ങളിൽനിന്നും ഒരേ അകലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പദങ്ങളുടെ തുക തുല്യമായിരിക്കും. ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യ ‌ആയാൽ രണ്ടറ്റത്തുനിന്നും ഒരേ അകലത്തിലുള്ള പദങ്ങൾ ജോടിചേർത്ത് ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളെ എല്ലാം നിശ്ചിത എണ്ണം ജോടികളാക്കാം. പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യ ആയാൽ ജോടിചേർക്കുമ്പോൾ നടുവിലെ പദം ജോടിയില്ലാതിരിക്കും. ഒരുജോടിയിലെ സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ പകുതിയാണ് നടുവിലെ പദമായി വരുന്ന സംഖ്യ. കൂടാതെ പദങ്ങളുടെ തുകയെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണംകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നടുവിലെ പദം കിട്ടും. ഇൗ പ്രത്യേകതളൊക്കെ ശ്രേണിയെഴുതി പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. 

സമാന്തരശ്രേണിയെക്കുറിച്ച് ഇതുവരെ മനസ്സിലാക്കിയ കാര്യങ്ങളുപയോഗിച്ച് ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരമെഴുതുക.

a)  7, 11, 15...79 എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിൽ എത്ര പദങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും.

b) ഇൗ ശ്രേണിയുടെ പത്താമത്തെ പദം എത്ര?

c) ഒൻപതാം പദത്തിന്റെയും പതിനൊന്നാം പദത്തിന്റെയും തുകയെത്ര?

d) രണ്ടാം പദത്തിന്റെയും പതിനെട്ടാം പദത്തിന്റെയും തുകയെത്ര?

e) നടുവിലെ പദത്തോട് എത്ര കൂട്ടിയാൽ അവസാനപദം കിട്ടും?

      

3. 1,2,3,4..... എന്ന സംഖ്യാക്രമം എണ്ണൽസംഖ്യാശ്രേണിയാണ്. ഇത് ഒരു സമാന്തരശ്രേണിതന്നെയാണ്. 1 മുതൽ nവരെയുള്ള തുടർച്ചയായ എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ തുക രണ്ടറ്റത്തുനിന്നും ഒരേ അകലത്തിലുള്ള സംഖ്യകളെ ജോടിചേർത്ത് കണക്കാക്കാം. ഇൗ രീതിയിലൂടെ തുക കണക്കാക്കുന്നതിന്  എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരാം.

എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ ഒറ്റസംഖ്യകളെന്നും ഇരട്ടസംഖ്യകളെന്നും രണ്ടായി തരം തിരിക്കാം. ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക  എന്നും ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക  എന്നും കണക്കാക്കാം. ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക ആദ്യത്തെ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുകയേക്കാൾ n കൂടുതലാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. 

ഇൗ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരമെഴുതുക.

a) 1 മുതൽ 30 വരെയുള്ള തുടർച്ചയായ എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.

b) 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ തുകയെത്ര?

c) 10 മുതൽ 30 വരെയുള്ള എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ തുക എത്ര?

d) 100 ൽ താഴെ എത്ര ഒറ്റസംഖ്യകളുണ്ട്. അവയുടെ തുകയെത്ര?

e)  2,4,6,8...198 എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിൽ എത്ര പദങ്ങളുണ്ട്. അവയുടെ തുകയെത്ര?

f) ആദ്യത്തെ 100 ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുകയേക്കാൾ എത്ര കൂടുതലാണ് ആദ്യത്തെ 100 ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക?

g)  ആദ്യത്തെ എത്ര ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് 961?

4. സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യപദം fഉം പൊതുവ്യത്യാസം dയും ആയാൽ f, f+d, f+2d, f+3d... എന്ന തരത്തിൽ സമാന്തര ശ്രേണി എഴുതാം

  എന്നത് സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പൊതുരൂപം. സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളെ ജോടി ചേർത്തെഴുതി പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം  രൂപീകരിക്കാം. തുക  എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചേരാൻ സാധിക്കും. 

ശ്രേണിയുെട ബീജഗണിത രൂപം നേരിട്ട് ഉപയോഗിച്ചും പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കാം. സമാന്തരശ്രേണിയുെട n–ാമത്തെ പദത്തിന്റെ പൊതു രൂപം an+b ആണ്. തുകയുടെ ബീജഗണിത രൂപം    ആയിരിക്കും. ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കേണ്ട സാഹചര്യങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതായി  വരും. ആ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ശ്രേണിയുടെ ബീജഗണിത രൂപം ഉപയോഗിക്കാം. 

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം എഴുതുക

a) 9, 13, 17, 21...97 എന്ന സമാന്തരശ്രേണിയിൽ എത്ര പദങ്ങളുണ്ടായിരിക്കും?

b) ഇൗ ശ്രേണി 9, 13, 17, 21എന്നിങ്ങനെ തുടർച്ചയായി എഴുതിയാൽ 605 ശ്രേണിയിലെ പദമായിരിക്കുമോ?

c) ആണെങ്കിൽ 605 എത്രാമത്തെ പദമായിരിക്കും?

d) ഇൗ ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 30 പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.

e) ഇൗ ശ്രേണിയുടെ പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ ബീജഗണിതരൂപം എഴുതുക.

f) പത്താം പദം മുതൽ മുപ്പതാം പദം വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക കണക്കാക്കുക.

g) ഇൗ ശ്രേണിയുടെ ഏതെങ്കിലും 25 പദങ്ങളുടെ തുക 2020 ആകുമോ? എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം?

സൂചകസംഖ്യകൾ

പരസ്പരം ലംബമായ രണ്ട് വരകൾ ഒരു പ്രതലത്തെ നാല് ഭാഗങ്ങളാക്കുമെന്നും പ്രതലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം ഒരു ജോടി സംഖ്യകളുപയോഗിച്ച് എഴുതാമെന്നും മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ടല്ലോ. തിരശ്ചീനമായ വരയെ x സൂചകാക്ഷമെന്നും ലംബമായ വരയെ y സൂചകാക്ഷമെന്നും വിളിക്കുന്നു. അവ ചേരുന്ന ബിന്ദുവാണ് ആധാരബിന്ദു.(a,b) എന്ന സംഖ്യാ ജോടി ഉപയോഗിച്ച് ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം നിർണയിക്കാം. ഇതിൽ a എന്നത് ബിന്ദുവിന്റെ x സൂചകസംഖ്യയും b എന്നത് y സൂചകസംഖ്യയുമാണ്. x അക്ഷത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും y സൂചകസംഖ്യകൾ പൂജ്യമാണ്. ഇതുപോലെ y അക്ഷത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും x സൂചകങ്ങളും പൂജ്യമാണ്. അതുകൊണ്ട് x അക്ഷത്തിലെ ഒരു ബിന്ദു (a,o)  എന്നെടുക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും y സൂചകസംഖ്യകൾ തുല്യമാണ്. y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു വരയിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും x സൂചകസംഖ്യകൾ തുല്യമാണ്. അതുകൊണ്ട് x അക്ഷത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലവും x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലവും അവയുടെ x സൂചകസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ കേവലവിലയാണ്. y അക്ഷത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലവും y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വരയിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലവും അവയുടെ y സൂചകസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ കേവലവിലയാണ്. 

ഇൗ ആശയങ്ങൾ ഉചിതമായി ഉപയോഗിച്ച് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരമെഴുതുക.

5.A(-2,-2) എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്നും y അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായി പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ 4 യൂണിറ്റ് നീങ്ങി Bയിലെത്തുന്നു. Bയിൽ നിന്നും x അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായി 6 യൂണിറ്റ് വലത്തേക്കു നീങ്ങി Cയില്‍ എത്തുന്നു. Cയിൽ നിന്നും 4 യൂണിറ്റ് y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി പോസിറ്റീവ് ദിശയില്‍ നീങ്ങി Dയിൽ എത്തുന്നു. 

a)Aയില്‍ നിന്ന് 4 യൂണിറ്റ് y അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായി മുകളിലേക്ക് നീങ്ങി  Bയുടെ സൂചക സംഖ്യകൾ എഴുതുക

b) Bയിൽ നിന്ന് 6 യൂണിറ്റ് വലത്തേക്ക് നീങ്ങി  Cയുടെ സൂചക സംഖ്യകൾ എഴുതുക

c) Cയിൽ നിന്ന് 4 യൂണിറ്റ് മുകളിലേക്ക് നീങ്ങി Dയുടെ സൂചക സംഖ്യകൾ എഴുതുക

d) Aയിൽ നിന്നും  Dയിലേക്കുള്ള ADയുടെ നീളം എത്ര

6. x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി (0, 4)ലൂടെയുള്ള വരയും y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി (4, 0)ത്തിലൂടെയുള്ള വരയും ഒരു ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു.

a) കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ സൂചകസംഖ്യകൾ എഴുതുക.

b) ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്നും കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുള്ള അകലമെത്ര?

c) ആധാരബിന്ദു കേന്ദ്രമാക്കി, കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുള്ള ദൂരം ആരമാക്കി വരയ്ക്കുന്ന വൃത്തം സൂചകാക്ഷങ്ങളെ ഖണ്ഡിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ഏതെല്ലാം?